今天我和大家分享的是一个关于利率的问题，随着经济的发展，，借呗、分期等等每个人都可能用到，但是为什么支付宝的花呗、银行的信用卡、券商的融资等等都喜欢鼓励大家分期呢？这里面蕴藏着深刻的经济学原理和巧妙的数学计算。

在微信群聊天的时候，有一个朋友分享了一个信息，现在建行的消费贷很便宜，5年期才3%，比公积金还便宜。（这是分期通，不是快贷，后文不再提醒，很多人分不清楚）

我一看，金融的敏感性让我立马警惕起来，但是又说不清楚是哪里有问题。

于是我决定把这个事情弄一下。

这样的事情其实很多，比如花呗

如图是大富翁借呗的界面，我们看到其日利率是0.03%，那么我从借呗借一年的钱成本是多少呢？其实这里隐藏了三个陷阱，第一是借呗故意不说年利率，说日利率，显得数字很小，好像借钱很容易一样，引诱潜在的客户。第二是有一点财务知识的朋友，很可能在计算年利率的时候用日利率乘以365来算自己的资金成本，得出的结果是10.95%，好像也能接受。第三，我们在还款的时候系统强制要求必须分期。

我曾经就这个问题问过银行的工作人员，除了理财经理外，即使银行从业人员也大多数说不清利率的计算，而普通人几乎全军覆没。

认认真真读本文，实用性很强，对你绝对有用。

1、 利率的本质

说起利率，我们接触最多的可能就是银行了，存钱有利息收入，算一个利率，贷款有利息支出，也有一个利率。那么，什么是利率呢？

我们知道，钱，代表着资源，比如100元钱，苹果五元一斤，就等于20斤苹果，猪肉25一斤，就代表着4斤猪肉，如果是100万，可能就代表着一处房子，一个机器等等，即资金代表着资源，而资金天然是追求增值的，比如银行拿了我们100元，一年后就要给我们还本付息103元，这3元就是银行使用我们资金付出的代价。

怎么来表示这种代价呢？我们用利率，比如年利率，就是最常用的指标，还有月利率，日利率等等，我们记住，利率的本质是资金的成本，形式上是时间的函数，同样的资金成本当用不同的时间来表达的时候得出的利率数字大小也不一样。

说到底年利率、月利率、日利率都是一种资金成本的计量方式，就像我们计算物体的重量，有英镑、市斤、公斤等等，为了统一表示，方便比较大小，一般会有一个统一的计量单位，利率我们一般用年利率表示。

2、 不同的利率

资金是有成本的，这个成本是时间的连续函数，但是在具体的计量中我们一般以某个时间段为衡量，这就引出了第一个利率的概念：单利和复利。

单利是指按照固定的本金计算的利息，是计算利息的一种方法。单利的计算取决于所借款项或贷款的金额（本金），资金借用时间的长短及市场一般利率水平等因素。复利是指在每经过一个计息期后，都要将所生利息加入本金，以计算下期的利息。这样，在每一个计息期，上一个计息期的利息都将成为生息的本金，即以利生利，也就是俗称的"利滚利"。

这里举个例子，我在银行存100万，利率4%，三年，如果是单利的话，三年后的本息和为100+100×4%×3=112万，如果是复利呢，第一年后的本息和为100×（1+4%）=104万，第二年的本息和为104×（1+4%）=108.16万，第三年的本息和为108.16×（1+4%）=112.48万，显然复利的效果要比单利好，因为第一年作为利息的4万参与了第二年和第三年的继续赚取利息过程，而单利的第一、第二年利息被银行以0成本占用了。

综上，复利中，复利对时间的函数效果更佳，没有造成资源的闲置。

第二个重要的概念是实际利率和名义利率，实际利率也叫做有效利率。

在宏观经济学中，经济学家费雪第一个揭示了通货膨胀率预期与利率之间关系的一个发现，它指出当预期通货膨胀率上升时，利率也将上升。表达式有两个：一是近似的表达，名义利率=实际利率+通货膨胀率；二是精确的表达，（1+名义利率）=（1+实际利率）*（1+通货膨胀率）。

在财务概念中，名义年利率（nominal interest rate）是每年的利率，比如说定期存款利率5%， 这种都叫做名义年利率。通俗来讲，我们一般说利率就是名义年利率。

实际利率也叫做等效年利率（effective interest rate），比如说1月的定存，每个月取出来一次 ，把本金和利息都放去到年底，复利计算了12次。 已知月利率，我们可以很容易推导出如下关系：

本金×（1+年利率）=本金×（1+月利率）ⁿ（n=12），那么年利率就等于（1+月利率）ⁿ—1（n=12）。

这里面计算出来的年利率是等效年利率，即实际利率。显然实际利率是复利条件下以年利率为基准进行的转换结果。

这里再举个例子，考虑按月计算的利息，其月利率为1%，这叫做"年利率12%，每月计息一次"，这里面的12%指的是名义利率，就是月利率乘以12个月得到的，和实际利率可能不同。

如果计息方式是单利(仅用本金计算利息)那名义利率和实际利率就一样，是复利就不一样。如你年初存了1000块，然后一年后单利就是1000x1%x12，而复利就是1000x(1＋1%)∧12次方，(1＋1%)∧12次方-1就是实际利率。

因为资金总是有时间价值的，所以我们一般都在复利条件下去计算实际利率（有效利率）。

进一步的，有效年利率EAR=（1+名义年利率/复利期间次数）^复利期间次数-1。名义利率就是挂牌利率，假设贷款利率是5%，这就是名义利率，如果按月复利计息，则有效年利率就是(1+5%/12)^12-1=5.116%，而按季度复利计息，则有效年利率是(1+5%/4)^4-1=5.095%。

我们可以看出在名义利率的条件下，年利率和月利率、日利率是简单的时间乘数关系，具体如下：

年利率=月利率×12（月）=日利率×360（天）

月利率=年利率÷12（月）=日利率×30（天）

日利率=年利率÷360（天）=月利率÷30（天）

但是这样的计算，显然是单利，不符合实际真实资金成本，金融系统喜欢用这种方式计算，可以掩盖了真实的资金成本。

比如我在工行银行网上银行遇到的信用贷款界面是这样的

我们计算一下，2.8÷10000×360×100%=10.08%（注意这里是360，而不是365，金融机构的统一计算规则），用的是单利计算，但是在具体的还款计划中要求我必须分期，而不是一次性到期还本付息，那么真实的年利率显然高于10.08%。

实际生活中的商家总是喜欢用单利条件下的名义利率代替复利条件下的实际利率，引诱消费者去分期从而掉进他们提前设置的好的陷阱。通过我们的分析可以得到结论：分期时间越长、分期次数越多，在名义利率不变的条件下，实际利率越大，有的商家还通过用免息，但是收取分期费用的方式隐藏实际成本，换汤不换药，不管是利息还是分期费用都是消费者付出的资金成本。

那么问题解决完了吗？并没有。理论是骨感的，现实是丰满的，我们看下面这个案例：借款200万，一年后还款212万，年利率为6%没问题，现在要求每个月还款利息一万，年底还本200万，真实利率是多少？

这个案例中区别是每个月的还款额是不一样的，怎么计算此类的真实年利率呢？

3、 IRR和XIRR

什么是IRR呢？IRR即内部收益率是工程会计的一个概念，就是资金流入现值总额与资金流出现值总额相等、净现值等于零时的折现率。如果不使用电子计算机，内部收益率要用若干个折现率进行试算，直至找到净现值等于零或接近于零的那个折现率。内部收益率，是一项投资渴望达到的报酬率，是能使投资项目净现值等于零时的折现率。我们可以利用这个函数去计算资金的实际利率。

它是一项投资渴望达到的报酬率，该指标越大越好。一般情况下，内部收益率大于等于基准收益率时，该项目是可行的。投资项目各年现金流量的折现值之和为项目的净现值，净现值为零时的折现率就是项目的内部收益率。比如，若内部收益率以8%为基准，并假设通胀在8%左右。若等于8%则表示项目操作完成时，除"自己"拿的"工资"外没有赚钱，但还是具有可行性的。若低于8%则表示等项目操作完成时有很大的可能性是亏本了。

因为通货膨胀，你以后赚的钱折到现在时就很有可能包不住你现在投入的成本。投资回报期较长的项目对内部收益率指标尤为重要。比如酒店建设一般投资回收期在10-15年左右，大型旅游开发投资经营期50年以上。这是内部收益率最通俗、最实际的意义。

在项目经济评价中，根据分析层次的不同，内部收益率有财务内部收益率(FIRR)和经济内部收益率(EIRR)之分。内部收益率用于财务评价时，将其结果称为财务内部收益率，记为FIRR。当内部收益率用于国民经济评价时，将其结果称为经济内部收益率，记为EIRR。

我们可以利用EXCEL自带的函数或者理财计算器很方便的计算此类现金流的收益率。如图，函数部分被我做成了3D效果，很清晰。

那么什么是XIRR呢？这个案例中默认了每个月还款时间是一样的，但是在现实中并不总是这样的。比如大富翁在2019年3月29日借款10万，以等额本息的方式分九次，每个月1号还款八次，最后一次在当月的29号结清尾款，这个案例中显然每个月还款的时间是不一样的。

IRR是由数字表示的一系列现金流的内部收益率。 这些现金流不必等同，但是，现金流必须定期(如每月或每年)出现。即间隔期必须相同。比如一个项目你期初投入了1000块，第一年收入260，第二年3070，第三年收入800，对应的年化收益率可以用IRR()来计算。

而XIRR()函数计算现金流间隔时间不规则的收益率。函数名为XIRR（values,dates,guess），其中，values代表的是投入与收回的金额，dates代表的是投入与收回对应的日期。guess在这里用处不大，可以忽略。

IRR的算出来的内部收益率和XIRR的有细微差别，是因为XIRR计算利息是精确到天的，IRR是精确到月的。也就是说，XIRR把一年分成365或者366份，IRR只把一年分成12个节点来计算现金流。也就是说IRR公式其实是近似了每个月的内部收益率。而XIRR公式是近似了每天的内部收益率。

需要提醒的是IRR 和XIRR 是用他们所近似出来的内部收益率（一个是月度的，一个是每日的）来计算年利率的。而不是IRR和XIRR公式本身具有计算年利率（无论是名义年利率还是等效年利率）的功能。

所以如果我们要得到年化真实利率，还需要进一步的计算，IRR 是 （1+r)^12 -1，XIRR 是 （1+r)^365-1，r为我们利用函数计算出来的对应内部收益率。这样的计算也假设每月结算一次利息，然后把结算的利润投入到现金池里继续计利息。

利率的本质总是这样的：如果从t=0 到t=T，如果在t=0存入一定的钱a； 到了t=T的时候获得A。利率（i）就是A/a 这个比值。无论是通过银行给的，还是其他途径获得的，只要明确定义了利率和时间的关系，那么相应的什么名义年利率啊，等效年利率，（名义）月利率。都是可以计算的。所以我在第一部分强调利率是资金的成本，其数值为时间的函数，时间选择不同，利率的最后大小也不同。

用现金流计算的并不是利息，是内部收益率。也就是说不同的方式（按月算，按天算）获得的内部收益率是不一样的。Excel 默认了计算出来的月，日的现金流就是名义利率，然后用这个来计算等效的年利率。

如果我们设定了年利率为基准，就必须转化，当然是以复利为基础的，金融系统喜欢用单利，只是简单的相乘，我在前面多次讲过，这种计算看到的数据比我们真实承担的资金成本要低不少。

4、 现实应用

关于利率，我们讲三个案例。

第一个，大家最熟悉的等额本息和等额本金。

等额本息是指，将贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中。等额本息贷款采用的是复合利率计算，在每月还款的结算时刻，剩余本金所产生的利息要和剩余的本金(贷款余额)一起被计息。

采用等额本息还款方式，虽然每个月还款的金额是一样的，但是实际上前期还的利息比较多，本金比较少，而越往后所还的利息占比越少，本金占比越多。

注意，这里已经把所有的利息全部计算完毕后，平摊进每个月的贷款中了。

等额本金指的是，在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。

采用等额本金的还款方式，每个月还的本金是一样的，前期还的利息和本金比较多，但是越往后面，随着本金的减少，利息也会相应的减少，每个月的还款金额也在不断的减少，越往后面还款压力越小。

等额本息和等额本金最大的区别在于利息的差距，等额本息的利息要比等本金的利息高出差不多20%，但是如果把资金的投资价值计算在内的话，其实两者实际的利息是差不多的。

第二个，我们谈一谈信用卡的分期问题。

实际信用卡的分期并不是像房贷按揭那种等额本金和等额本息。

实际信用卡的分期规则是：

- 每期手续费a%，分期n期，总金额假设为m。

- 则每个月手续费为，m*a%；

- 每个月需还本金m/n；

- 每个月需还款：m*a%+m/n。

大家一定要注意这点，它是把本金和计算好的利息，同时按照期数进行等额分配然后计算每期应还款。

假设贷款总额为m，共分期n期，每期手续费a%，实际年化利率为b%；

计算：

1、从最后一期到第一期，每期实际占用银行资金为1m/n、2m/n、……、nm/n，共n期；

2、则总占用银行资金（以月为单位）为m/n + 2m/n + …… + nm/n，为（1+2+ …… +n）m/n，简单的数列求和，化简后为（n+1）m/2;

3、n期共还银行利息为 m*a%*n；

4、实际年化利率 b% = amn% / m(n+1) /2 /12，化简后为 b = 24 * a * n / (n+1)；

所以实际年化利率是：

24 * 每期手续费a% * 分期n期 / (n+1) ;

拿银行常见分期手续费每期0.6%来算，实际年利率：

3期为： 24 * 0.6 * 3 / 4 = 10.8%;

6期为： 24 * 0.6 * 6 / 7 = 12.34%;

12期为：24 * 0.6 * 12 / 13 = 13.29%;

24期为：24 * 0.6 * 24 / 25 = 13.82%;

毫不隐瞒，这个案例是我从知乎抄袭的，我之所以敢于抄袭它的素材，是因为这个妹子（我个人感觉是金融业从业妹子）的素材和模型都是对的，遗憾的是逻辑和结论都是错的。

小姑娘说了一个问题：两笔借款，借款额一样，还款期数一样，而且每期还款金额（本金+利息）也一样，两笔贷款的利率一定是相等吗？答案是否定的。

我觉得她的逻辑是错的，如前所述，利率是金钱反映在时间因素上的成本，我们一般都在复利环境下用标准的年利率计算，贷款的利率一定是相等的。

那么她为什么认为利率不同呢？有两个可能的原因，第一是分不清名义利率和实际利率，把名义利率直接折算为名义年利率了。

第二个是因为实际情况下的信用卡提前还款，在中国的银行中，只有工行是按照信用卡业务所宣城的方式计算已还本金和未还本金（提前还款剩余本金，剩余期利息（手续费）不再缴纳），其余银行在提前还款时，剩余期利息（手续费）也是要全部缴纳，因此也就变相相当于第一期还款就把所有期利息还清，剩余期只还本金。

看到了吗？真正的问题出在提前还款的时候，银行利用规则收了本不该收的手续费，这笔手续费原本是在完整的贷款时间段内才能收取的，我们提前还款的时候，银行没有退还，我们和银行本来应该存在实际上没存在的这段时间内的借款成本。

所以，小姑娘误以为这造成了利率不同，其实利率是相等的，只是因为银行收取了其他费用从而在实际业务发生的时候收费不同，而这不影响利率本身。

第三个，我们谈一谈薅羊毛的事情。

本文最开始讲的建行快贷其实有一个bug！

大家看一下，随借随还，没有违约金，这意味着什么呢？

解决这个问题之前，我先把前面挖的坑给填了吧。利用IRR计算月利率为0.47%，那么计算年利率（1+0.47%）12次方—1=5.8%，比银行放贷高多了。建设银行的股东不要害怕，哈哈。

坑在哪里呢？

如图我们看这种还款方式是不是和信用卡的还款方式很像啊。如果我们按照60期还完，那么实际的年利率就是5.8%。银行稳赚。

这种还款方式有个BUG，我们知道利率是资金相对时间的函数，反映资金的成本，手续费总额是按照五年期间计算的。随着时间的流逝，我们实际可以使用银行的钱在慢慢减少，但是付出的成本是不变的。

但是我们提前还款呢？那么在最开始的时候我们使用的资金成本是最大的，如果我们在最甜蜜的时候过了之后选择全部还款，因为没有违约金，我们的实际资金使用成本非常低！

按照上面这笔借款计算，我们每个月还2875元，包含375元手续费，2500本金，如果还了10期，第11期还本付息，本金已经还了25000元，剩余本金125000元，手续费375元，共还款125375元。

我们此时计算年利率才3%！

怎么样？这是不是一个好的薅羊毛地方呢。此时，考虑到资金成本和通胀，建设银行的这笔零售业务根本不赚钱，甚至是亏钱的。

我个人觉得建设银行肯定有一个风控机制，这样搞几次，下去去办理业务可能就不那么友好了，不过也说不准，有兴趣，有需求的朋友去试试。

这年头，实际利率3%成本的资金可真的是太太太少了，央企恐怕也拿不到吧。

最后要提醒大家一点的是，金融套路多，交往需谨慎，没事别分期，有钱赶紧换。很多机构喜欢用手续费而不是利息替代资金成本，其实质是一样的，大家别看到免息就冲动啊。

怎么样？今天这篇文章含金量满满吧，可以点赞，可以收藏，也可以转发给你关心的人，尤其是家人，千万别掉进金融机构的陷阱哦。

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